薄透鏡
本篇深入探討幾何光學的核心——高斯成像公式與薄透鏡幾何關係。透過客觀的幾何推導，建立物距、像距、焦距與線放大率之間的聯立方程式，提供光學系統在空間配置與成像大小計算上的理論基礎。
高斯薄透鏡成像公式
對於理想的薄透鏡系統，其物距 (\(s\))、像距 (\(i\)) 與焦距 (\(f\)) 滿足以下關係：
\[\frac{1}{f} = \frac{1}{s} + \frac{1}{i}\]
- \(f\)：鏡頭的有效焦距 (Effective Focal Length)。
- \(s\)：物距 (Object Distance)，即物體中心至透鏡主點的距離。
- \(i\)：像距 (Image Distance)，即感測器平面至透鏡主點的距離。
透鏡放大率
透鏡放大率 (\(M\)) 定義為成像高度 (\(h'\)) 與物體實際高度 (\(h\)) 的比值。根據光學中的相似三角形幾何推導，可得：
\[M = \frac{h'}{h} = \frac{i}{s}\]
- 若 \(M < 1\)，成像為縮小。
- 若 \(M > 1\)，成像為放大。
- 在機器視覺中，\(M\) 直接決定了空間解析度（GSD, Ground Sample Distance）。
像距物距與放大率的關係
為了方便工程師在規劃光學系統時，能快速透過需求倍率 (\(M\)) 反推物理空間配置，可將放大率帶入高斯公式得到以下換算公式：
物距 (工作距離)
\[s = f \cdot \left( 1 + \frac{1}{M} \right) = f \cdot \frac{M+1}{M}\]
像距 (後焦距)
\[i = f \cdot (M + 1)\]