景深
本篇系統性地探討光學系統中的景深計算、超焦距原理以及彌散圓設定機制。內容完整呈現景深前緣與後緣公式的幾何光學推導過程，並針對工業精密量測與一般消費級攝影的不同需求，客觀分析彌散圓臨界值的設定原則與簡化公式的適用邊界。
公式一覽表
| 名稱 | 公式 | 近似公式 (\(s >> f\)) | 轉成超焦距表示法 |
|---|---|---|---|
| 景深前緣 | \(\frac{sf^2}{f^2 + Nc(s-f)}\) | \(\frac{sf^2}{f^2 + Ncs}\) | \(\frac{s(H-f)}{H+s-2f}\) |
| 景深後緣 | \(\frac{sf^2}{f^2 - Nc(s-f)}\) | \(\frac{sf^2}{f^2 - Ncs}\) | \(\frac{s(H-f)}{H-s}\) |
| 超焦距 | \(\frac{f^2}{Nc} + f\) | \(\frac{f^2}{Nc}\) | \(H = \frac{f^2}{Nc} + f\) |
| 景深 | \(\frac{2s(s-f)(H-f)}{(H-s)(H+s-2f)}\) | \(\frac{2Ncs}{f^2}\) | \(DoF \approx \frac{2Nc}{M^2}\)（遠距近似） |
彌散圓
當我們對焦在物距 \(s\) 時，該點在感測器上會匯聚成一個完美的點。但若物體往前移（\(s_{near}\)）或往後移（\(s_{far}\)），原本該匯聚的點會變成一個圓斑，這個圓斑的直徑就是彌散圓 \(c\)。
我們的眼睛和光學系統都有解析度的極限。當一個點被模糊成圓斑時，如果這個圓斑的直徑 \(\leq c\)，我們就認為它「看起來還是清晰的」；如果超過 \(c\)，就會明顯感受到模糊。簡單說，彌散圓 \(c\) 就是「看得出模糊」的臨界點。同一張影像，在不同應用場景下對清晰度的要求是完全不同的。
例如：一個有 0.01 mm 模糊的影像，對人眼藝術攝影來說可能是清晰的（人眼看不出來），但在光學檢測中就不夠清晰（無法精確測量邊界、檢測細微缺陷）。因此，同一份設備拍出來的影像，在藝術用途上可以接受，但在工業檢測用途上可能完全不符合。這也是為什麼工業檢測需要用更小的 \(c\) 值。
- \(f\)：焦距
- \(D\)：有效孔徑直徑（\(D = f / N\)，其中 \(N\) 為光圈值）
- \(i\)：對焦在 \(s\) 時的像距
- \(i'\)：物體移動後，實際成像的位置
彌散圓與成像關係
根據相似三角形，孔徑 \(D\) 與像距\(i'\) 的關係，跟彌散圓 \(c\) 與偏移距離 \(|i - i'|\) 的關係是一致的：
將 \(D = f/N\) 代入
常見的彌散圓數值
彌散圓 \(c\) 不是固定常數，而是根據應用場景對清晰度的要求決定。不同的使用情境需要的清晰程度不同，會影響 \(c\) 值設定的大小：
| 應用場景 | 清晰度要求 | \(c\) 特性 | 說明 |
|---|---|---|---|
| 工業檢測 | 很高 | \(c\) 較小 | 需要精確檢測細節，對模糊容許度低，\(c\) 必須設小 |
| 機器視覺測量 | 很高 | \(c\) 較小 | 邊界精度要求高，\(c\) 通常 0.003～0.006 mm |
| 藝術攝影（人眼觀看） | 較寬鬆 | \(c\) 較大 | 人眼解析度有限，對 1～2 mm 的模糊不敏感，\(c\) 可設大 |
| 娛樂相機 | 寬鬆 | \(c\) 較大 | 只需視覺上看起來清晰，\(c\) 可放寬 |
因此，在計算景深時，必須根據應用需求定義合適的 \(c\) 值，而非使用統一的常數。備註中提供的表格是一般參考值，但實際應該根據自己的系統檢測能力或人眼感受來調整。
景深
根據薄透鏡公式可得
代入彌散圓條件 \(\frac{c}{D} = \frac{|i - i'|}{i'}\)（其中 \(D = f/N\)）得
要解景深前緣與景深後緣，分別考慮：
- 景深前緣：\(i' > i\)（物體在焦點前，景深前緣）
- 景深後緣：\(i' < i\)（物體在焦點後，景深後緣）
景深前緣
當物體在焦點前移時，\(i' > i\)，因此：
整理得
化簡並求解 \(s'\)：
攝影標準公式（近似形式）： 當物距遠大於焦距（\(s >> f\)）時，\(s - f \approx s\)，上式簡化為：
定義超焦距 \(H = \frac{f^2}{Nc} + f\)，則 \(f^2 + Nc(s-f) = Nc(H + s - f)\)，因此完整的光學推導形式為：
為什麼攝影標準公式與光學推導形式差異這麼大？
看起來兩個公式完全不同，但實際上在工業應用場景中，\(s >> f\) 的條件使兩者等價。
實際應用中的物距與焦距比例：
| 應用場景 | 焦距 \(f\) (mm) | 物距 \(s\) (mm) | 比例 \(s/f\) | 忽略 \(f\) 的可接受性 |
|---|---|---|---|---|
| 微距檢測 | 10 | 100 | 10 倍 | 差異 < 10% ✓ |
| 近距檢測 | 25 | 200 | 8 倍 | 差異 < 12.5% ✓ |
| 一般工業檢測 | 50 | 500 | 10 倍 | 差異 < 10% ✓ |
| 遠距拍攝 | 100 | 3000 | 30 倍 | 差異 < 3% ✓ |
| 望遠應用 | 150 | 10000 | 67 倍 | 差異 < 1.5% ✓ |
當 \(s >> f\) 時（通常 \(s/f > 8\)），\(s - f \approx s\) 成立，因此：
這時完整光學形式退化為攝影標準公式：
結論： 兩組公式並非相互矛盾，而是在不同精度要求下的同一物理現象的表達。 - 需要高精度微距計算 → 用完整光學形式 - 實際攝影應用（\(s >> f\)）→ 用簡化的攝影標準公式
景深後緣
當物體在焦點後移時，\(i' < i\)，因此：
整理得
化簡並求解 \(s'\)：
攝影標準公式（近似形式）： 當物距遠大於焦距（\(s >> f\)）時，\(s - f \approx s\)，上式簡化為：
以超焦距 \(H = \frac{f^2}{Nc} + f\) 表示，則 \(f^2 - Nc(s-f) = Nc(H - s)\)，因此完整的光學推導形式為：
攝影標準公式與光學推導形式的關係
景深後緣的完整光學形式與攝影標準公式看似不同，但在 \(s >> f\) 的條件下是完全等價的。
當 \(s >> f\) 時，\(s - f \approx s\)，因此：
這時完整光學形式簡化為攝影標準公式：
實際應用指導： - 在工業檢測中，即使是最近距的微距應用（\(s/f \approx 8\)），忽略 \(f\) 項的誤差也小於 13% - 對於大多數實際應用（\(s/f > 10\)），兩個公式的結果差異 < 10% - 因此在實務上，可以安心使用更簡潔的攝影標準公式
超焦距
超焦距是指對焦於此距離時，景深後緣達到無窮遠的對焦距離。換句話說，當對焦在超焦距上時，超過該距離的所有物體都在彌散圓 \(c\) 定義的清晰範圍內。
當 \(s = H\) 時，\(D_{far} \to \infty\)，因此：
完整的光學推導形式：
攝影標準公式（近似形式）： 當 \(s >> f\) 時，前項主導，通常簡化為：
暗何超焦距常被簡化？
完整形式中的 \(+f\) 項在實際應用中是否重要？讓我們看看具體數字：
| 焦距 \(f\) (mm) | 完整值 \(\frac{f^2}{Nc} + f\) | 近似值 \(\frac{f^2}{Nc}\) | 相對誤差 |
|---|---|---|---|
| 10 | \(H + 10\) | \(H\) | ~0.1%（當 \(H > 1000\)） |
| 25 | \(H + 25\) | \(H\) | ~0.3%（當 \(H > 800\)） |
| 50 | \(H + 50\) | \(H\) | ~0.6%（當 \(H > 800\)） |
| 100 | \(H + 100\) | \(H\) | ~1%（當 \(H > 10000\)） |
在實際計算中（\(H\) 通常遠大於 100mm），加上 \(f\) 項的影響通常 < 2%。這也是為什麼攝影應用中幾乎都直接用 \(H \approx \frac{f^2}{Nc}\) 而不計較這個 \(+f\) 的細節。
景深
景深是清晰範圍的深度，為景深後緣與景深前緣的差：
化簡：
當物距很遠時（\(s \gg f\)），可近似為：